要判断ASP.NET web应用程序是否随机关闭，可以通过添加错误日志记录来捕获异常并分析关闭的原因。以下是一个示例解决方法：

1. 在Global.asax.cs文件中，添加一个Application_Error事件处理程序来捕获应用程序中的未处理异常：

protected void Application_Error(object sender, EventArgs e)
{
    Exception exception = Server.GetLastError();
    
    // 将异常记录到日志文件中
    // 可以使用第三方日志记录库，如log4net或NLog
    // 这里仅仅是一个示例
    string errorMessage = string.Format("An unhandled exception occurred: {0}", exception.Message);
    System.IO.File.WriteAllText(Server.MapPath("~/App_Data/ErrorLog.txt"), errorMessage);
}

2. 在Web.config文件中，确保启用了自定义错误页面，并配置错误页面的URL：

3. 创建一个错误日志文件(ErrorLog.txt)和自定义错误页面(Error.html)。

通过这种方式，当应用程序发生未处理的异常时，它将被捕获并记录到错误日志文件中。你可以定期检查错误日志文件，以查看是否有随机关闭的情况。此外，当访问应用程序时出现HTTP 404错误时，将重定向到自定义的错误页面。