要解决“Android Google登录失败 com.google.android.gms.common.api.ApiException: 12500”错误，可以尝试以下方法：

1. 确保您已正确配置了Google登录相关的设置。请确保您已在Google开发者控制台中创建了项目，并启用了Google登录API。还要确保您在项目中正确配置了OAuth 2.0客户端ID和签名证书指纹。

2. 检查您的应用程序的包名和SHA-1指纹是否与您在Google开发者控制台中创建的OAuth 2.0客户端ID的包名和指纹匹配。如果不匹配，您需要使用正确的包名和指纹重新创建一个OAuth 2.0客户端ID。

3. 确保您的应用程序的build.gradle文件中已添加了Google Play服务库的依赖项。在dependencies部分添加以下代码：

implementation 'com.google.android.gms:play-services-auth:19.2.0'

4. 在您的代码中，确保您使用了正确的请求代码来启动Google登录。请确保您使用的是正确的请求代码，并且已正确处理了回调结果。以下是一个示例代码，您可以在您的活动或片段中使用它：

import com.google.android.gms.auth.api.Auth;
import com.google.android.gms.auth.api.signin.GoogleSignInOptions;
import com.google.android.gms.common.api.GoogleApiClient;

// 在onCreate方法中
GoogleSignInOptions gso = new GoogleSignInOptions.Builder(GoogleSignInOptions.DEFAULT_SIGN_IN)
        .requestEmail()
        .build();

GoogleApiClient mGoogleApiClient = new GoogleApiClient.Builder(this)
        .addApi(Auth.GOOGLE_SIGN_IN_API, gso)
        .build();

// 在登录按钮点击事件中
Intent signInIntent = Auth.GoogleSignInApi.getSignInIntent(mGoogleApiClient);
startActivityForResult(signInIntent, RC_SIGN_IN);

5. 如果上述步骤都正确配置了，但问题仍然存在，则可能是由于其他原因导致的。您可以尝试卸载和重新安装应用程序，或者尝试在不同的设备或模拟器上运行应用程序来排除设备特定的问题。

希望以上解决方法能够帮助您解决“Android Google登录失败 com.google.android.gms.common.api.ApiException: 12500”错误。如果问题仍然存在，请尝试查看错误日志以获取更多详细信息，并在开发者论坛或相关社区中寻求帮助。