在ASP.NET Core Web API应用程序中，使用try-catch语句来处理异常是一种常见的方法。但是，由于异步代码的复杂性，try-catch语句可能无法捕获异步方法中的异常。

以下是一种解决方法，可以使用异步和await关键字来处理异步方法中的异常：

[HttpGet("{id}")
public async Task Get(int id)
{
    try
    {
        var result = await _service.GetData(id);
        return Ok(result);
    }
    catch (Exception ex)
    {
        return StatusCode(StatusCodes.Status500InternalServerError, "An error occurred while processing your request.");
    }
}

在上面的代码中，GetData方法是一个异步方法，使用await关键字等待结果。如果发生异常，catch块会捕获异常并返回适当的HTTP响应代码。

请注意，如果在Startup.cs中配置了异常中间件，则不需要在Web API代码中使用try-catch语句。异常中间件将会自动处理异常，并将适当的HTTP响应代码返回给客户端。