在ASP.NET Core Web API中，非等待异步函数一定会尝试完成，但是它们不会等待其它异步操作完成。如果异步操作未完成或抛出异常，它们会将异常传递给调用方。

以下是一个示例方法，其中包含一个非等待的异步操作：

[HttpGet]
public async Task> TestAsync()
{
    try
    {
        await Task.Delay(5000);
        return "Async operation completed successfully.";
    }
    catch (Exception ex)
    {
        return StatusCode(StatusCodes.Status500InternalServerError, ex.Message);
    }
}

在这个方法中，我们使用了 Task.Delay 方法模拟了一个异步操作。由于我们使用了 await 关键字，并且不希望等待异步操作完成，因此我们使用了 async 和 Task 返回类型。如果异步操作完成，我们将返回一个表示成功的消息。如果异步操作失败或抛出异常，我们将返回一个 StatusCode 包含错误信息的响应。

需要注意的是，如果您正在使用非等待异步操作，您应该非常小心地处理异常和错误情况，以确保您的API能够正确地呈现错误信息。