ASP.NET框架运行WEB API的过程如下：

1. 客户端通过HTTP请求发送给服务器，请求特定的API资源。

2. 服务器接收到请求后，ASP.NET框架会根据请求的URL路径来确定对应的控制器和动作方法。

3. ASP.NET框架将请求路由到相应的控制器，并调用对应的动作方法。

4. 动作方法执行所需的业务逻辑，并生成相应的数据。

5. 控制器将生成的数据封装成HTTP响应，包括状态码、头部信息、以及响应体。

6. 服务器将HTTP响应发送回客户端。

以下是一个简单的代码示例：

// 控制器类
public class ProductsController : ApiController
{
    // GET api/products
    public IHttpActionResult Get()
    {
        // 执行获取产品列表的业务逻辑
        var products = GetProducts();

        // 将产品列表封装成HTTP响应返回
        return Ok(products);
    }

    // GET api/products/{id}
    public IHttpActionResult Get(int id)
    {
        // 执行获取特定产品的业务逻辑
        var product = GetProductById(id);

        // 如果产品不存在，返回404 Not Found
        if (product == null)
            return NotFound();

        // 将产品封装成HTTP响应返回
        return Ok(product);
    }

    // POST api/products
    public IHttpActionResult Post(Product product)
    {
        // 执行创建产品的业务逻辑

        // 返回201 Created响应
        return Created(Request.RequestUri + "/" + product.Id, product);
    }

    // PUT api/products/{id}
    public IHttpActionResult Put(int id, Product product)
    {
        // 执行更新产品的业务逻辑

        // 返回204 No Content响应
        return StatusCode(HttpStatusCode.NoContent);
    }

    // DELETE api/products/{id}
    public IHttpActionResult Delete(int id)
    {
        // 执行删除产品的业务逻辑

        // 返回204 No Content响应
        return StatusCode(HttpStatusCode.NoContent);
    }

    // 根据ID获取产品的逻辑
    private Product GetProductById(int id)
    {
        // 实现获取产品的业务逻辑
    }

    // 获取产品列表的逻辑
    private List GetProducts()
    {
        // 实现获取产品列表的业务逻辑
    }
}

// 数据模型类
public class Product
{
    public int Id { get; set; }
    public string Name { get; set; }
    public decimal Price { get; set; }
}

以上代码示例中，控制器类ProductsController继承自ApiController，并包含了处理不同HTTP请求方法的动作方法。每个动作方法对应一个特定的HTTP请求路径和方法。在动作方法中，可以执行相应的业务逻辑，并将结果封装成HTTP响应返回给客户端。