要解决Android ViewModel MutableLiveData不更新的问题，并实现双向数据绑定，可以按照以下步骤进行操作：

1. 确保你的ViewModel类继承自Android Jetpack的ViewModel类。

public class MyViewModel extends ViewModel {
    // 声明MutableLiveData变量
    private MutableLiveData myData = new MutableLiveData<>();

    // 提供公共的获取MutableLiveData变量的方法
    public LiveData getMyData() {
        return myData;
    }

    // 提供公共的更新MutableLiveData变量的方法
    public void updateMyData(String data) {
        myData.setValue(data);
    }
}

2. 在Activity或Fragment中初始化ViewModel，并观察ViewModel中的MutableLiveData变量。

public class MyActivity extends AppCompatActivity {
    private MyViewModel myViewModel;

    @Override
    protected void onCreate(Bundle savedInstanceState) {
        super.onCreate(savedInstanceState);
        setContentView(R.layout.activity_my);

        // 初始化ViewModel
        myViewModel = ViewModelProviders.of(this).get(MyViewModel.class);

        // 观察ViewModel中的MutableLiveData变量
        myViewModel.getMyData().observe(this, new Observer() {
            @Override
            public void onChanged(String data) {
                // 在这里更新UI界面
                // 例如，更新TextView的文本
                textView.setText(data);
            }
        });
    }

    // 在需要更新MutableLiveData变量的地方调用ViewModel中的方法
    private void updateData(String data) {
        myViewModel.updateMyData(data);
    }
}

3. 对于双向数据绑定，可以使用DataBinding库来实现。首先，在build.gradle文件中添加DataBinding的配置。

android {
    ...
    dataBinding {
        enabled = true
    }
}

4. 在布局文件中使用DataBinding，并将ViewModel与布局文件进行绑定。

5. 在Activity或Fragment中使用DataBindingUtil来获取绑定的实例，并设置ViewModel。

public class MyActivity extends AppCompatActivity {
    private MyViewModel myViewModel;

    @Override
    protected void onCreate(Bundle savedInstanceState) {
        super.onCreate(savedInstanceState);

        // 获取绑定的实例
        ActivityMyBinding binding = DataBindingUtil.setContentView(this, R.layout.activity_my);

        // 初始化ViewModel
        myViewModel = ViewModelProviders.of(this).get(MyViewModel.class);

        // 设置ViewModel
        binding.setViewModel(myViewModel);
        binding.setLifecycleOwner(this);
    }
}

通过以上步骤，你可以解决Android ViewModel MutableLiveData不更新的问题，并实现双向数据绑定。