这个问题可能是由于应用程序存在内存泄漏、不良状态或有限资源的情况引起的。为了解决这个问题，有以下几个可能的解决方案：

1. 在Web应用程序中导入System.Net.Sockets名字空间，并设置socket的排它性。

using System.Net.Sockets;

Socket socket = new Socket(AddressFamily.InterNetwork, SocketType.Stream, ProtocolType.Tcp);
socket.SetSocketOption(SocketOptionLevel.Socket, SocketOptionName.ExclusiveAddressUse, true);

2. 考虑在应用程序中使用SocketAsyncEventArgs，这能够改善性能和可靠性，并降低Tcp连接关闭时发生异常的可能性。

3. 可以使用AWS X-Ray服务，它可以更全面地监测和诊断服务。

4. 可以使用AWS CloudWatch服务或其他监测工具来监测资源利用率，并查找并解决应用程序内存泄漏或不良状态的问题。

5. 最后，重新启动应用程序或重启EC2实例可能是消除这种周期性SocketException的有效方法。

以上解决方法可以帮助你解决AWS ECS/Fargate托管的Asp.NET Web服务存在一致性周期性首次SocketException的问题。