在Android应用中，可以使用Firebase Cloud Messaging（FCM）来接收推送通知，并在后台接收自定义数据。以下是一个解决方法的示例代码：

1. 首先，确保你的应用集成了Firebase Cloud Messaging。你可以按照Firebase官方文档的指导进行集成。

2. 在你的AndroidManifest.xml文件中添加以下代码，以声明接收FCM消息的服务：

3. 创建一个名为MyFirebaseMessagingService的服务类，继承自FirebaseMessagingService，并重写onMessageReceived方法。在该方法中，你可以处理自定义数据，并在应用的后台接收推送通知。

import com.google.firebase.messaging.FirebaseMessagingService;
import com.google.firebase.messaging.RemoteMessage;

public class MyFirebaseMessagingService extends FirebaseMessagingService {

    @Override
    public void onMessageReceived(RemoteMessage remoteMessage) {
        super.onMessageReceived(remoteMessage);
        
        // 获取自定义数据
        if (remoteMessage.getData().size() > 0) {
            String customData = remoteMessage.getData().get("custom_key");
            // 在这里处理自定义数据
        }

        // 显示通知
        // ...
    }
}

在这个示例中，我们通过remoteMessage.getData().get("custom_key")获取自定义数据，并在onMessageReceived方法中进行处理。

4. 在你的服务器端发送推送通知时，确保包含自定义数据。例如，使用Firebase Admin SDK可以像这样发送一个带有自定义数据的消息：

import com.google.firebase.messaging.FirebaseMessaging;
import com.google.firebase.messaging.Message;
import com.google.firebase.messaging.Notification;

Message message = Message.builder()
    .putData("custom_key", "custom_value")
    .setNotification(new Notification("Title", "Body"))
    .setToken(token)
    .build();

String response = FirebaseMessaging.getInstance().send(message);

在这个示例中，我们使用putData方法将自定义数据添加到消息中，并将其发送到指定的设备。

这样，当你的Android应用在后台接收到推送通知时，就能够获取并处理自定义数据了。