Android后台服务、MainApplication和ActivityLifecycleCallbacks之间的关系是这样的：MainApplication是一个全局的Application类，它在整个应用程序的生命周期中存在，并且可以用来初始化全局的变量和执行一些全局的操作。ActivityLifecycleCallbacks是一个接口，它可以让你监听应用程序中所有Activity的生命周期回调。

下面是一个包含代码示例的解决方法：

1. 创建一个后台服务（BackgroundService）：

public class BackgroundService extends Service {
    @Override
    public int onStartCommand(Intent intent, int flags, int startId) {
        // 在这里执行后台任务
        return START_STICKY;
    }

    @Override
    public IBinder onBind(Intent intent) {
        return null;
    }
}

2. 在MainApplication类中启动后台服务：

public class MainApplication extends Application {
    @Override
    public void onCreate() {
        super.onCreate();
        Intent intent = new Intent(this, BackgroundService.class);
        startService(intent);
    }
}

3. 在MainApplication类中实现ActivityLifecycleCallbacks接口，监听Activity的生命周期回调：

public class MainApplication extends Application implements Application.ActivityLifecycleCallbacks {
    @Override
    public void onCreate() {
        super.onCreate();
        registerActivityLifecycleCallbacks(this);
    }

    @Override
    public void onActivityCreated(Activity activity, Bundle savedInstanceState) {
        // 当一个新的Activity被创建时调用
    }

    @Override
    public void onActivityStarted(Activity activity) {
        // 当一个Activity变为可见时调用
    }

    @Override
    public void onActivityResumed(Activity activity) {
        // 当一个Activity获得焦点时调用
    }

    @Override
    public void onActivityPaused(Activity activity) {
        // 当一个Activity失去焦点时调用
    }

    @Override
    public void onActivityStopped(Activity activity) {
        // 当一个Activity不再可见时调用
    }

    @Override
    public void onActivitySaveInstanceState(Activity activity, Bundle outState) {
        // 当一个Activity需要保存状态时调用
    }

    @Override
    public void onActivityDestroyed(Activity activity) {
        // 当一个Activity被销毁时调用
    }
}

通过以上步骤，你可以在MainApplication中启动后台服务，并监听整个应用程序中所有Activity的生命周期回调。这样，你就可以在合适的时机执行一些全局的操作，例如在Activity被销毁时停止后台服务等。