在Android客户端与REST API服务器之间进行身份验证可以使用以下解决方法：

1. 使用HTTP基本身份验证：这是一种简单的身份验证方法，客户端将用户名和密码作为请求的一部分发送给服务器。服务器将验证提供的凭据是否有效。以下是一个示例代码：

String username = "your-username";
String password = "your-password";

String credentials = username + ":" + password;
String base64EncodedCredentials = Base64.encodeToString(credentials.getBytes(), Base64.NO_WRAP);

RequestQueue queue = Volley.newRequestQueue(this);
String url = "http://your-api-url.com";

StringRequest request = new StringRequest(Request.Method.GET, url,
        new Response.Listener() {
            @Override
            public void onResponse(String response) {
                // 处理响应
            }
        },
        new Response.ErrorListener() {
            @Override
            public void onErrorResponse(VolleyError error) {
                // 处理错误
            }
        }) {
    @Override
    public Map getHeaders() throws AuthFailureError {
        Map headers = new HashMap<>();
        headers.put("Authorization", "Basic " + base64EncodedCredentials);
        return headers;
    }
};

queue.add(request);

2. 使用OAuth 2.0身份验证：OAuth 2.0是一种更安全和灵活的身份验证协议，可以使用它来将用户授权给应用程序访问受保护的资源。以下是一个示例代码：

String clientId = "your-client-id";
String clientSecret = "your-client-secret";
String username = "your-username";
String password = "your-password";

RequestQueue queue = Volley.newRequestQueue(this);
String url = "http://your-api-url.com";

StringRequest request = new StringRequest(Request.Method.GET, url,
        new Response.Listener() {
            @Override
            public void onResponse(String response) {
                // 处理响应
            }
        },
        new Response.ErrorListener() {
            @Override
            public void onErrorResponse(VolleyError error) {
                // 处理错误
            }
        }) {
    @Override
    public Map getHeaders() throws AuthFailureError {
        Map headers = new HashMap<>();
        headers.put("Authorization", "Bearer " + getAccessToken());
        return headers;
    }
};

queue.add(request);

private String getAccessToken() {
    // 获取访问令牌的逻辑
}

以上示例代码中，需要根据实际情况替换相应的占位符，如用户名、密码、API URL等。此外，授权服务器的实现方式可能有所不同，需要根据实际情况进行适当的调整。