在React Native应用中，可以使用AsyncStorage API来存储应用程序数据。但在Android上，由于应用程序沙箱的限制，存储数据的大小是有限制的。当数据大小超过一定阈值时，应用程序将无法继续存储数据。

为了解决这个问题，可以使用React Native中的React Native SQLite模块来存储数据。SQLite是一种轻量级的关系型数据库，它以独立的压缩文件形式储存，不受Android应用程序沙箱的大小限制。下面是React Native SQLite模块的基本用法示例：

安装： npm install --save react-native-sqlite-storage

引入： import SQLite from 'react-native-sqlite-storage';

打开并设置数据库： let db = SQLite.openDatabase({name: 'my.db', location: 'default'});

执行SQL语句： db.transaction(function(tx) { tx.executeSql('CREATE TABLE IF NOT EXISTS LOGS (id INTEGER PRIMARY KEY, log VARCHAR(255))'); });

以上代码示例创建了一个名为“my.db”的SQLite数据库，并创建了一个名为“LOGS”的表。这些表操作可以根据应用程序的需要进行调整。

使用React Native SQLite模块，开发者可以大大增加应用程序存储数据的最大限制。