要解决Android下拉菜单的图标被背景图片隐藏的问题，可以使用以下代码示例：

1. 在styles.xml文件中定义一个新的样式，用于设置下拉菜单的背景和图标：

2. 创建一个名为popup_background.xml的drawable文件，用于设置菜单的背景图片。在该文件中，可以自定义菜单的背景颜色或图片。

3. 在Java代码中，为下拉菜单设置上述样式：

PopupMenu popupMenu = new PopupMenu(this, anchorView);
popupMenu.getMenuInflater().inflate(R.menu.menu_main, popupMenu.getMenu());

if (Build.VERSION.SDK_INT >= Build.VERSION_CODES.Q) {
    popupMenu.setForceShowIcon(true); // 显示菜单图标
}

if (Build.VERSION.SDK_INT >= Build.VERSION_CODES.LOLLIPOP) {
    popupMenu.setGravity(Gravity.END); // 设置菜单在anchorView右侧弹出
}

if (Build.VERSION.SDK_INT >= Build.VERSION_CODES.M) {
    popupMenu.setCallback(new PopupMenu.Callback() {
        @Override
        public boolean onMenuItemSelected(PopupMenu menu, MenuItem item) {
            // 处理菜单项的点击事件
            return true;
        }

        @Override
        public void onMenuModeChange(PopupMenu menu) {
            // 菜单模式改变时的回调
        }
    });
}

if (Build.VERSION.SDK_INT >= Build.VERSION_CODES.M) {
    popupMenu.setOnDismissListener(new PopupMenu.OnDismissListener() {
        @Override
        public void onDismiss(PopupMenu menu) {
            // 菜单关闭时的回调
        }
    });
}

if (Build.VERSION.SDK_INT >= Build.VERSION_CODES.Q) {
    popupMenu.setForceShowIcon(false); // 隐藏菜单图标
}

if (Build.VERSION.SDK_INT >= Build.VERSION_CODES.M) {
    popupMenu.show(); // 显示菜单
}

请注意，上述代码中的R.menu.menu_main是一个菜单资源文件，用于定义菜单项。你可以根据自己的需求进行修改。

通过上述代码，你可以在Android下拉菜单中设置背景图片，并控制菜单图标的显示和隐藏。