解决Android小部件背景颜色不更新的问题可以尝试以下解决方法：

1. 确保在更新小部件的布局时，也更新了背景颜色。可以在更新小部件的代码中添加设置背景颜色的语句。

// 更新小部件布局的代码
RemoteViews views = new RemoteViews(context.getPackageName(), R.layout.widget_layout);
views.setInt(R.id.widget_layout, "setBackgroundColor", Color.RED); // 设置背景颜色

2. 如果背景颜色需要根据特定的条件或数据进行动态更新，确保在更新小部件的同时，也更新对应的背景颜色。

// 更新小部件布局的代码
RemoteViews views = new RemoteViews(context.getPackageName(), R.layout.widget_layout);

// 根据条件或数据设置背景颜色
if (condition) {
    views.setInt(R.id.widget_layout, "setBackgroundColor", Color.RED);
} else {
    views.setInt(R.id.widget_layout, "setBackgroundColor", Color.BLUE);
}

3. 如果更新小部件的代码在后台执行，确保在更新小部件后，调用AppWidgetManager的updateAppWidget方法来更新小部件的显示。

// 更新小部件布局的代码
RemoteViews views = new RemoteViews(context.getPackageName(), R.layout.widget_layout);
views.setInt(R.id.widget_layout, "setBackgroundColor", Color.RED); // 设置背景颜色

// 更新小部件显示
AppWidgetManager appWidgetManager = AppWidgetManager.getInstance(context);
ComponentName componentName = new ComponentName(context, MyWidgetProvider.class);
appWidgetManager.updateAppWidget(componentName, views);

4. 如果以上方法仍然无效，可以尝试强制更新小部件的布局。在更新小部件的代码之后，调用AppWidgetManager的notifyAppWidgetViewDataChanged方法来强制刷新小部件的布局。

// 更新小部件布局的代码
RemoteViews views = new RemoteViews(context.getPackageName(), R.layout.widget_layout);
views.setInt(R.id.widget_layout, "setBackgroundColor", Color.RED); // 设置背景颜色

// 更新小部件显示
AppWidgetManager appWidgetManager = AppWidgetManager.getInstance(context);
ComponentName componentName = new ComponentName(context, MyWidgetProvider.class);
appWidgetManager.updateAppWidget(componentName, views);

// 强制刷新小部件的布局
appWidgetManager.notifyAppWidgetViewDataChanged(appWidgetManager.getAppWidgetIds(componentName), R.id.widget_layout);

以上是一些常见的解决方法，根据具体情况选择合适的方法来解决Android小部件背景颜色不更新的问题。