出现“Android应用程序无法写入下载目录：java.io.FileNotFoundException（权限被拒绝）”错误通常是因为应用程序没有正确申请和获取写入外部存储的权限。下面是解决该问题的代码示例：

1. 首先，在AndroidManifest.xml文件中添加以下权限声明：

2. 然后，在需要写入下载目录的代码中，添加动态权限请求逻辑。示例代码如下：

// 检查是否有写入外部存储的权限
if (ContextCompat.checkSelfPermission(this, Manifest.permission.WRITE_EXTERNAL_STORAGE) != PackageManager.PERMISSION_GRANTED) {
    // 如果没有权限，则申请权限
    ActivityCompat.requestPermissions(this, new String[]{Manifest.permission.WRITE_EXTERNAL_STORAGE}, requestCode);
} else {
    // 如果已经有权限，则进行文件写入操作
    writeFileToDownloadDirectory();
}

// 处理权限请求的回调
@Override
public void onRequestPermissionsResult(int requestCode, @NonNull String[] permissions, @NonNull int[] grantResults) {
    super.onRequestPermissionsResult(requestCode, permissions, grantResults);
    if (requestCode == requestCode) {
        if (grantResults.length > 0 && grantResults[0] == PackageManager.PERMISSION_GRANTED) {
            // 用户授予了写入外部存储的权限
            writeFileToDownloadDirectory();
        } else {
            // 用户拒绝了写入外部存储的权限
            Toast.makeText(this, "没有权限写入下载目录", Toast.LENGTH_SHORT).show();
        }
    }
}

// 写入文件到下载目录的方法
private void writeFileToDownloadDirectory() {
    // 获取下载目录的路径
    String downloadDirectoryPath = Environment.getExternalStoragePublicDirectory(Environment.DIRECTORY_DOWNLOADS).getAbsolutePath();

    // 创建文件对象
    File file = new File(downloadDirectoryPath, "example.txt");

    try {
        // 写入文件内容
        FileOutputStream fos = new FileOutputStream(file);
        fos.write("Hello, World!".getBytes());
        fos.close();

        // 文件写入成功
        Toast.makeText(this, "文件写入成功", Toast.LENGTH_SHORT).show();
    } catch (IOException e) {
        e.printStackTrace();
        // 文件写入失败
        Toast.makeText(this, "文件写入失败", Toast.LENGTH_SHORT).show();
    }
}

在上述示例代码中，我们首先检查是否有写入外部存储的权限。如果没有权限，我们通过ActivityCompat.requestPermissions()方法请求用户授权。然后，根据用户的授权结果，在onRequestPermissionsResult()方法中处理权限请求的回调。如果授权成功，则调用writeFileToDownloadDirectory()方法进行文件写入操作。

请注意，从Android 11开始，对于外部存储上的应用私有目录，不再需要申请WRITE_EXTERNAL_STORAGE权限。相反，您可以使用getExternalFilesDir()方法获取应用的私有目录路径，并在其中写入文件。