要解决“Android应用程序显示Google Play服务过时”的问题，可以使用以下代码示例：

1. 在应用的build.gradle文件中，确保使用了最新版本的Google Play服务库：

dependencies {
    implementation 'com.google.android.gms:play-services:17.0.0'
}

2. 在应用的AndroidManifest.xml文件中，添加meta-data标签以指定所需的Google Play服务版本：

    ...
    
    ...

3. 在应用的Java代码中，可以使用以下方法检查Google Play服务是否过时：

private boolean isGooglePlayServicesOutdated() {
    int googlePlayServicesVersion = GoogleApiAvailability.getInstance().getApkVersion(this);
    int minGooglePlayServicesVersion = GoogleApiAvailability.GOOGLE_PLAY_SERVICES_VERSION_CODE;

    return googlePlayServicesVersion < minGooglePlayServicesVersion;
}

4. 在应用的启动Activity中，可以在onCreate方法中调用上述方法来检查Google Play服务是否过时，并根据需要采取相应的操作：

@Override
protected void onCreate(Bundle savedInstanceState) {
    super.onCreate(savedInstanceState);
    setContentView(R.layout.activity_main);

    if (isGooglePlayServicesOutdated()) {
        // Google Play服务过时，可以提示用户更新Google Play服务或采取其他操作
    } else {
        // Google Play服务正常，继续应用逻辑
    }
}

以上代码示例可以帮助你解决“Android应用程序显示Google Play服务过时”的问题。你可以根据自己的需求进行适当调整和修改。