以下是一个示例解决方案，使用Angular 5和.NET Core 2.1 API获取用户时区的当前时间。

Angular 5代码示例：

1. 在app.module.ts文件中导入HttpClientModule：

import { HttpClientModule } from '@angular/common/http';

@NgModule({
  imports: [
    HttpClientModule
  ],
  ...
})
export class AppModule { }

2. 创建一个名为timezone.service.ts的服务，用于获取用户时区的当前时间：

import { Injectable } from '@angular/core';
import { HttpClient } from '@angular/common/http';

@Injectable({
  providedIn: 'root'
})
export class TimezoneService {
  constructor(private http: HttpClient) { }

  getCurrentTime() {
    return this.http.get('/api/timezone');
  }
}

3. 在你的组件中使用TimezoneService获取当前时间：

import { Component, OnInit } from '@angular/core';
import { TimezoneService } from './timezone.service';

@Component({
  ...
})
export class YourComponent implements OnInit {
  currentTime: Date;

  constructor(private timezoneService: TimezoneService) { }

  ngOnInit() {
    this.timezoneService.getCurrentTime().subscribe((time: Date) => {
      this.currentTime = time;
    });
  }
}

.NET Core 2.1 API代码示例：

1. 创建一个名为TimezoneController.cs的控制器，用于处理获取用户时区的当前时间的请求：

using Microsoft.AspNetCore.Mvc;
using System;

namespace YourNamespace.Controllers
{
    [Route("api/[controller]")]
    [ApiController]
    public class TimezoneController : ControllerBase
    {
        [HttpGet]
        public IActionResult Get()
        {
            var userTimezone = GetUserTimezone(); //获取用户时区的方法，根据你的需求实现
            var currentTime = TimeZoneInfo.ConvertTime(DateTime.UtcNow, userTimezone);
            return Ok(currentTime);
        }
    }
}

2. 在Startup.cs文件的ConfigureServices方法中添加以下代码以启用API控制器：

services.AddMvc().SetCompatibilityVersion(CompatibilityVersion.Version_2_1);

3. 在Startup.cs文件的Configure方法中添加以下代码以启用API路由：

app.UseMvc();

这是一个基本的示例，你可以根据你的需求进行调整和扩展。