在Angular 5前端和.Net Core API中，可以通过使用HTTP Interceptor和.NET Core中的Session来解决“会话数据在请求之间不保存”的问题。下面是一个示例代码：

1. 前端代码：

import { Injectable } from '@angular/core';
import { HttpInterceptor, HttpRequest, HttpHandler, HttpEvent } from '@angular/common/http';
import { Observable } from 'rxjs/Observable';

@Injectable()
export class SessionInterceptor implements HttpInterceptor {

  constructor() { }

  intercept(request: HttpRequest, next: HttpHandler): Observable> {
    // 获取保存在sessionStorage中的会话数据
    const sessionData = sessionStorage.getItem('sessionData');

    // 克隆请求并添加会话数据到请求头
    if (sessionData) {
      request = request.clone({
        setHeaders: {
          'Session-Data': sessionData
        }
      });
    }

    return next.handle(request);
  }
}

2. 后端代码：

// Startup.cs
public void ConfigureServices(IServiceCollection services)
{
    // ...其他配置
    
    services.AddSession(options =>
    {
        options.IdleTimeout = TimeSpan.FromMinutes(30); // 设置会话过期时间
        options.Cookie.HttpOnly = true; // 仅允许HTTP访问cookie
        // 其他会话配置
    });

    // ...其他配置
}

public void Configure(IApplicationBuilder app, IWebHostEnvironment env)
{
    // ...其他配置
    
    app.UseSession(); // 使用会话中间件

    // ...其他配置
}

// 控制器代码
[HttpGet]
public IActionResult SetSessionData(string sessionData)
{
    HttpContext.Session.SetString("sessionData", sessionData);
    return Ok();
}

[HttpGet]
public IActionResult GetSessionData()
{
    var sessionData = HttpContext.Session.GetString("sessionData");
    return Ok(sessionData);
}

通过上述代码，前端在每个请求中都会将会话数据添加到请求头中，后端则使用Session中间件来处理会话数据的保存和获取。这样可以确保会话数据在请求之间得以保存。