在Angular 6中，您可以使用catchError操作符来处理订阅错误，并从ASP.Net Core API中获取错误消息。以下是解决方法的代码示例：

首先，在您的Angular服务中，确保您已导入HttpClient和catchError操作符：

import { HttpClient } from '@angular/common/http';
import { catchError } from 'rxjs/operators';
import { throwError } from 'rxjs';

@Injectable()
export class MyService {
  constructor(private http: HttpClient) { }

  getData() {
    return this.http.get('your-api-url')
      .pipe(
        catchError(this.handleError)
      );
  }

  private handleError(error: any) {
    let errorMessage = '';
    if (error.error instanceof ErrorEvent) {
      // 客户端错误
      errorMessage = `Error: ${error.error.message}`;
    } else {
      // 服务器返回错误
      errorMessage = `Error Code: ${error.status}\nMessage: ${error.message}`;
    }
    // 处理错误消息
    console.error(errorMessage);
    return throwError(errorMessage);
  }
}

然后，您可以在组件中使用该服务，并订阅getData方法来获取数据和处理错误：

export class MyComponent implements OnInit {
  data: any;
  error: any;

  constructor(private myService: MyService) { }

  ngOnInit() {
    this.myService.getData().subscribe(
      response => {
        this.data = response;
      },
      error => {
        this.error = error;
      }
    );
  }
}

在上述代码中，getData方法将返回一个Observable对象，我们使用subscribe方法来订阅它。在订阅中，我们可以使用第一个回调函数来处理成功的响应，并将数据分配给组件的data属性。如果发生错误，我们可以使用第二个回调函数来处理错误，并将错误分配给组件的error属性。

在handleError方法中，我们检查错误类型，如果是客户端错误，我们使用error.error.message获取错误消息。如果是服务器返回的错误，我们可以使用error.status获取错误代码，使用error.message获取错误消息。

最后，我们使用throwError操作符将错误消息作为Observable对象返回，以便订阅者可以进一步处理该错误。

这样，您就可以从ASP.Net Core API中获取错误消息并处理它。