要从API获取错误并在Angular Material的mat-error中显示错误，您可以按照以下步骤操作：

1. 在组件的HTML模板中，使用mat-form-field和mat-error来显示表单控件和错误消息。例如：

  
    
    
      {{ getErrorMessage() }}
    
  

2. 在组件的TypeScript文件中，创建一个表单并设置错误验证规则。例如：

import { Component, OnInit } from '@angular/core';
import { FormBuilder, FormGroup, Validators } from '@angular/forms';

@Component({
  selector: 'app-my-component',
  templateUrl: './my-component.component.html',
  styleUrls: ['./my-component.component.css']
})
export class MyComponentComponent implements OnInit {
  myForm: FormGroup;

  constructor(private formBuilder: FormBuilder) { }

  ngOnInit() {
    this.myForm = this.formBuilder.group({
      myInput: ['', Validators.required]
    });
  }

  getErrorMessage() {
    if (this.myForm.get('myInput').hasError('required')) {
      return 'This field is required';
    }
  }
}

3. 在组件的TypeScript文件中，使用API获取错误消息。例如：

import { Component, OnInit } from '@angular/core';
import { FormBuilder, FormGroup, Validators } from '@angular/forms';
import { ApiService } from './api.service';

@Component({
  selector: 'app-my-component',
  templateUrl: './my-component.component.html',
  styleUrls: ['./my-component.component.css']
})
export class MyComponentComponent implements OnInit {
  myForm: FormGroup;
  errorMessage: string;

  constructor(private formBuilder: FormBuilder, private apiService: ApiService) { }

  ngOnInit() {
    this.myForm = this.formBuilder.group({
      myInput: ['', Validators.required]
    });
  }

  getErrorMessage() {
    if (this.myForm.get('myInput').hasError('required')) {
      return 'This field is required';
    }
    return this.errorMessage;
  }

  onSubmit() {
    if (this.myForm.valid) {
      this.apiService.getData().subscribe(
        (response) => {
          // 处理成功响应
        },
        (error) => {
          this.errorMessage = error.message;
        }
      );
    }
  }
}

在上述示例中，我们使用ApiService来获取API数据。当表单提交时，我们订阅API响应并在错误回调中设置错误消息。然后，我们可以在getErrorMessage()函数中返回这个错误消息，并在mat-error中显示它。

请注意，您需要根据您自己的API和表单验证规则进行修改。