假设已有一个集合X和其上的全序关系order,现在想要证明X的任意子集在此全序关系下也是全序关系。
证明: 设A是X的一个子集,现在考虑在order下检查A是否是全序关系:
对于A中的任意元素a1和a2,根据order的定义,有且只有a1 ≤ a2或a2 ≤ a1两种情况。
若a1 ≤ a2且a2 ≤ a3,则a1 ≤ a3(传递性)。
对于A中的任意元素a1和a2,有且只有a1 ≤ a2或a2 ≤ a1两种情况,故对称性成立。
对于A中的任意元素a1、a2和a3,有且只有a1 ≤ a2或a2 ≤ a1两种情况,a2 ≤ a3或a3 ≤ a2两种情况,故a1 ≤ a3或a3 ≤ a1两种情况成立,故最后一条性质也成立。
因此,A也是一个全序关系。
代码示例:
// 定义全序集X和其上的全序关系order const X = [2, 4, 6, 8, 10, 12]; const order = (a, b) => a <= b;
// 定义X的子集A const A = [4, 8, 12];
// 根据order检查A是否为全序关系
let isTotalOrder = true;
for (let i = 0; i < A.length; i++) {
for (let j = i + 1; j < A.length; j++) {
if (!order(A[i], A[j]) && !order(A[j], A[i])) {
isTotalOrder = false;
break;
}
}
if (!isTotalOrder) break;
}
console.log(A是否为全序关系:${isTotalOrder ? '是' : '否'}
); // A是否为全序关系:是