要解决AngularJS待办事项应用程序中编辑按钮存在的问题，可以采取以下步骤：

1. 确保在HTML模板中正确绑定编辑按钮的ng-click指令，并将其绑定到一个方法上。例如：

编辑

2. 在AngularJS控制器中，实现editTask方法，该方法将处理点击编辑按钮的逻辑。可以使用ng-model指令将任务的内容绑定到一个变量上，以便在编辑模式下进行修改。例如：

$scope.editTask = function(task) {
  task.editMode = true;
  task.tempContent = task.content;
};

在这个例子中，我们给任务对象添加了一个editMode属性和一个tempContent属性。editMode属性用于判断当前是否处于编辑模式，tempContent属性用于存储编辑前的任务内容。

3. 在HTML模板中，根据任务的编辑模式来显示不同的内容。当任务处于编辑模式时，显示一个输入框，用户可以修改任务内容。当任务不处于编辑模式时，显示任务的原始内容。例如：

  
  保存
  取消


  {{ task.content }}
  编辑

4. 在AngularJS控制器中，实现saveTask方法和cancelEdit方法，用于保存编辑后的任务内容或取消编辑操作。例如：

$scope.saveTask = function(task) {
  task.content = task.tempContent;
  task.editMode = false;
};

$scope.cancelEdit = function(task) {
  task.editMode = false;
};

在这个例子中，saveTask方法将tempContent的值赋给content属性，然后将editMode设置为false，表示编辑完成。cancelEdit方法只将editMode设置为false，表示取消编辑操作。

通过上述步骤，我们可以解决AngularJS待办事项应用程序中编辑按钮存在的问题，并实现编辑任务的功能。