要在Angular中每10秒检查服务器上的背景图片是否存在，可以使用HttpClient来发送HTTP请求并检查响应状态码。以下是一个示例解决方法：

1. 在Angular项目中创建一个服务，在其中添加一个checkBackgroundImage方法。

import { Injectable } from '@angular/core';
import { HttpClient } from '@angular/common/http';
import { timer } from 'rxjs';

@Injectable({
  providedIn: 'root'
})
export class BackgroundImageService {

  constructor(private http: HttpClient) { }

  checkBackgroundImage(): void {
    timer(0, 10000).subscribe(() => {
      this.http.head('url_of_the_background_image').subscribe(
        () => console.log('Background image exists'),
        () => console.log('Background image does not exist')
      );
    });
  }
}

2. 在想要检查背景图片的组件中注入BackgroundImageService，并在ngOnInit方法中调用checkBackgroundImage方法。

import { Component, OnInit } from '@angular/core';
import { BackgroundImageService } from './background-image.service';

@Component({
  selector: 'app-my-component',
  templateUrl: './my-component.component.html',
  styleUrls: ['./my-component.component.css']
})
export class MyComponent implements OnInit {

  constructor(private backgroundImageService: BackgroundImageService) { }

  ngOnInit(): void {
    this.backgroundImageService.checkBackgroundImage();
  }
}

在上述代码中，timer(0, 10000)表示每10秒执行一次检查。http.head方法发送一个HEAD请求，只返回响应头部而不返回响应体。如果响应的状态码为200，则表示图片存在；否则，表示图片不存在。

请注意替换url_of_the_background_image为实际的背景图片URL。还可以根据需要修改检查结果的处理方式，例如显示消息或执行其他操作。