要解决“按钮点击时的Angular路由不起作用”的问题，可以尝试以下解决方案：

1. 确保正确导入了Router和ActivatedRoute模块。

import { Router, ActivatedRoute } from '@angular/router';

2. 在组件的构造函数中注入Router和ActivatedRoute。

constructor(private router: Router, private route: ActivatedRoute) { }

3. 使用router.navigate方法进行页面导航。

this.router.navigate(['/your-route']);

4. 如果需要传递参数，可以将参数添加到路由路径中。

this.router.navigate(['/your-route', param1, param2]);

5. 如果需要在路由导航中指定查询参数，可以使用queryParams。

this.router.navigate(['/your-route'], { queryParams: { param1: value1, param2: value2 } });

6. 如果按钮点击事件是在模板中定义的，可以通过调用组件中的方法来触发路由导航。

点击按钮

navigateToRoute() {
  this.router.navigate(['/your-route']);
}

7. 确保路由路径在应用的路由配置中正确定义。

const routes: Routes = [
  { path: 'your-route', component: YourComponent }
];

以上是一些常见的解决方法，根据具体情况可能会有所不同。如果问题仍然存在，请检查浏览器的控制台输出，以查看是否有任何错误消息。