下面是一个使用C#编写的按钮计数器的Windows Forms解决方案的代码示例：

using System;
using System.Windows.Forms;

namespace ButtonCounter
{
    public partial class MainForm : Form
    {
        private int count;

        public MainForm()
        {
            InitializeComponent();
        }

        private void MainForm_Load(object sender, EventArgs e)
        {
            count = 0;
            UpdateCountLabel();
        }

        private void btnClickMe_Click(object sender, EventArgs e)
        {
            count++;
            UpdateCountLabel();
        }

        private void UpdateCountLabel()
        {
            lblCount.Text = $"Button clicked {count} times";
        }
    }
}

上述示例代码中的MainForm类继承自Form类，并包含一个按钮(btnClickMe)和一个标签(lblCount)。在窗体加载时，初始化计数器(count)为0，并调用UpdateCountLabel方法更新标签文本。当用户点击按钮时，计数器增加1，并再次调用UpdateCountLabel方法更新标签文本。

你可以将以上代码复制到一个新的Windows Forms应用程序项目中，并将相应的控件添加到窗体设计器中，然后编译和运行该项目，即可看到按钮计数器的效果。