按钮控件样式模板和BackgroundSizing属性是用于定义按钮控件外观和背景尺寸的关键属性。下面是一个示例解决方法，展示如何使用按钮控件样式模板和BackgroundSizing属性来定制按钮的外观和背景尺寸。

1. 创建一个新的样式模板（在XAML中定义）：

2. 在按钮上应用该样式模板：

在这个示例中，我们创建了一个名为"CustomButtonStyle"的样式模板，将其目标类型设置为Button。样式模板使用一个Grid来定义按钮的布局，并包含一个Border作为背景，以及一个ContentPresenter用于显示按钮的内容。

在样式模板中，我们使用了名为"BackgroundBorder"的Border元素来显示按钮的背景，并使用TemplateBinding绑定了按钮的Background和BorderBrush属性。我们还使用了CornerRadius属性来设置按钮的圆角。

对于按钮的状态变化，我们使用了两个触发器来改变背景颜色。当鼠标悬停在按钮上时，触发器会将BackgroundBorder的背景颜色更改为LightBlue；当按钮被按下时，触发器会将背景颜色更改为DarkBlue。

最后，我们使用了BackgroundSizing属性将背景尺寸设置为OuterBorder，这意味着背景将填充整个按钮的边界。

通过以上的代码示例，你可以根据自己的需求，定制按钮的样式和背景尺寸。