可以通过以下方式解决这个问题：

1. 使用getText()方法获取文本区域的字符串值，然后在事件监听器中使用这个值。

示例代码如下：

JTextArea textArea = new JTextArea();
JButton button = new JButton("Click");

button.addActionListener(new ActionListener() {
    public void actionPerformed(ActionEvent e) {
        String text = textArea.getText();
        // 在这里使用文本区域的字符串值
    }
});

2. 将文本区域的字符串值作为参数传递给事件监听器中的方法。

示例代码如下：

JTextArea textArea = new JTextArea();
JButton button = new JButton("Click");

button.addActionListener(new ActionListener() {
    public void actionPerformed(ActionEvent e) {
        String text = textArea.getText();
        // 在这里使用文本区域的字符串值
        processText(text);
    }
});

// 处理文本的方法
public void processText(String text) {
    // 在这里处理文本
}

通过以上两种方式，按钮事件监听器就可以从文本区域中获取到字符串值并进行处理。