实现按钮与背景图的响应式设计，可以使用CSS和JavaScript来实现。下面是一个示例的解决方法：

HTML代码：

  按钮
  

CSS代码：

.container {
  position: relative;
}

button {
  position: absolute;
  top: 50%;
  left: 50%;
  transform: translate(-50%, -50%);
  z-index: 1;
}

.background {
  position: absolute;
  top: 0;
  left: 0;
  width: 100%;
  height: 100%;
  background-image: url('background.jpg');
  background-size: cover;
  z-index: 0;
}

JavaScript代码：

function resizeBackground() {
  var container = document.querySelector('.container');
  var background = document.querySelector('.background');
  
  background.style.height = container.offsetHeight + 'px';
}

window.addEventListener('resize', resizeBackground);

以上代码实现了一个简单的按钮和背景图的响应式设计。按钮使用绝对定位居中于容器中，背景图使用绝对定位并设置宽度和高度为100%。JavaScript代码中的resizeBackground函数用于在窗口大小改变时重新计算背景图的高度，以适应不同的屏幕尺寸。

请确保将上述代码中的background.jpg替换为实际的背景图路径，并将代码放置在合适的位置以确保正确运行。