新智元报道

编辑：LRS

【新智元导读】STP（自博弈定理证明器）让模型扮演「猜想者」和「证明者」，互相提供训练信号，在有限的数据下实现了无限自我改进，在Lean和Isabelle验证器上的表现显著优于现有方法，证明成功率翻倍，并在多个基准测试中达到最先进的性能。

大型语言模型的 「推理能力」现在成了NLP皇冠上的明珠，其核心难题在于「缺乏高质量训练数据」，标注数据需要领域专家，成本非常高昂且难以扩展；现有高等数学论文和定理的数量也非常有限，远少于其他任务的数据源。

DeepSeek-Prover和DeepSeek R1等模型的思路非常巧妙，在没有逐步解决方案的数据集（如定理命题）上进行强化学习，可以极大提升其推理能力；和专家迭代（expert iteration）类似，交替进行「LLMs生成证明」和「正确生成的证明上进行微调」，部分缓解了数据稀缺（data scarcity）的问题。

不过，强化学习和专家迭代都存在一个严重问题：通过率（pass rate）过低，对「未证明的定理」 生成「正确证明」所需的样本量呈指数级增长，大量的计算资源被浪费在生成错误的证明上，无法为模型提供训练信号。

比如在LeanWorkbook上的通过率为13.2%，其中98.5%的计算资源都浪费在生成错误证明上了，也就是说，在经过几轮专家迭代后，由于缺乏新的成功证明，重新训练模型的效果会大大降低。

此外，强化学习从原理上就受到训练数据集中「定理难度水平」的限制，一个模型不可能从「解决高中水平的问题」中学习到「大学水平的证明技巧」，也无法解决「开放性」的数学问题，需要持续收集高水平的定理命题和数学问题。

斯坦福的研究人员提出了一个 自博弈定理证明器（STP），模仿数学家学习和发展数学的方式，同时承担两个角色（猜想者和证明器），互相提供训练信号，可以在「有限数据」的情况下「无限运行并自我改进」。

论文链接：https://arxiv.org/pdf/2502.00212

在每次迭代中，猜想者会在之前生成的猜想上进行训练，生成的猜想对于当前证明器来说只能「勉强证明」，即证明器相对于其随机种子的成功概率为一个较小的正值；迭代过程会逐渐增加猜想和证明的难度，而无需额外数据，可以看作是猜想者和证明器之间的自我博弈算法，或是自动化的课程学习。

研究人员在Lean和Isabelle上对该方法进行了实证评估，使用DeepSeek-Prover-V1.5-SFT作为STP的基础模型，在大约1.2亿个生成的证明和200万个生成的猜想的自我博弈训练后，成功证明了训练数据集LeanWorkbook中26.3%的命题，是之前专家迭代性能（13.2%）的两倍！

在推理速度上，研究人员在公共基准测试miniF2F-test上对现有模型和使用STP训练的最终模型进行多次独立采样，该模型在各种采样预算下均显著优于DeepSeek-Prover-V1.5模型，还在miniF2F-test（61.1%，pass@3200）、ProofNet-test（23.1%，pass@3200）和PutnamBench（8/644，pass@64）上实现了最先进的性能。

作者马腾宇是斯坦福大学的助理教授，本科毕业于清华姚班，于普林斯顿大学获得博士学位，研究兴趣包括机器学习和深度学习，深度强化学习和高维统计。曾获得NIPS'16最佳学生论文奖，COLT'18最佳论文奖、ACM博士论文奖荣誉奖和2021斯隆研究奖。

方法

通过有监督微调进行模型初始化

研究人员通过在现有的证明库（例如Mathlib）上构建的监督微调（SFT）数据集，对一个通用的大型语言模型（如Llama）进行微调，初始化「猜想者」和「证明器」模型，其中证明库包含人类编写的已知数学定理的正式证明，每个文件都形式化了一个相对独立的结果，比如教科书的一章。

自博弈（self-play）训练

第1步和第2步：生成猜想和证明

研究人员使用验证器从证明中提取一个种子引理，去重后随机丢弃一些频繁出现的引理，输入到大模型中生成猜想；随机选择一组猜想，其数量不超过给定数据集中剩余未证明陈述的数量，以便证明器的计算资源在猜想和陈述之间平均分配；生成的猜想与现有数据集中未证明的陈述合并作为证明器的输入。

在第2步证明过程，为每个陈述/猜想独立采样K个证明。

第3步：用Lean等验证证明的正确性

第4步：奖励分配

STP的主要技术难点是为猜想者设计奖励函数，最终目标是激励猜想者生成多样化、相关、可行但又有一定挑战性的猜想，以便为证明器提供足够的训练信号。

研究人员首先将所有生成的猜想和证明整理成一个示例列表，使用证明器通过K个独立生成的证明估计的（经验）通过率来判断猜想的挑战性。

然后设计一个启发式的过滤器，防止模型生成具有复杂目标的、没有实际价值的难题，即移除最小证明长度除以猜想长度处于最低20%的猜想。

最后对选定的猜想进行重新加权，以保持猜想者的多样性，猜想者的奖励不能仅依赖于单独生成的猜想，否则猜想者的最优策略可能会退化为单一分布：将选定猜想的分布推向现有数据集中未证明的陈述，最小化与未证明定理的均匀分布的Wasserstein距离，以保持多个模式之间的平衡。

第5步：LLM训练

对于证明数据集，根据对应陈述/猜想的验证证明数量的倒数对样本进行加权，在猜想或证明上计算加权交叉熵损失，引入长度惩罚以鼓励生成更简单的证明。

最终再训练（re-training）

为了避免自博弈过程中数据分布变化导致的训练不稳定，研究人员从基础模型（SFT阶段之前）开始，对最终模型进行再训练，再训练使用的数据集包括SFT数据集以及在自博弈训练过程中生成的所有正确证明。

证明对应命题或猜想的经验通过率不超过1/4；对于每一个陈述或猜想，随机保留最多16个不同的证明，以加快训练速度。

实验结果

研究人员使用专家迭代后的DeepSeek-Prover-V1.5-SFT作为基础模型，训练数据包括公共数据集（例如LeanWorkbook、miniF2F-valid、ProofNet-valid）以及其他专有数据集中的证明。运行了24次STP迭代后，总共生成了200万条猜想、1.2亿个证明和198亿个token，用累积通过率（即在整个训练过程中证明的陈述的比例）作为衡量训练进展的主要指标。

STP、专家迭代和平行采样方法在LeanWorkbook训练数据集上的累积通过率实验可以看到，STP的扩展性能明显优于专家迭代。

为了在常见基准测试中取得最佳性能，研究人员还使用LeanWorkbook、miniF2F-valid和ProofNet-valid中的陈述对模型进行了额外8次迭代的训练，与以往工作在miniF2F-test和ProofNet-test测试集相比，STP显著优于DeepSeek-Prover-V1.5-RL，在各种推理时间样本预算下均实现了最先进的性能。

消融实验

生成的猜想提供了更多训练信号

在Isabelle实验中，研究人员使用中间模型对LeanWorkbook中的未证明命题和生成猜想的经验通过率进行了直方图分析。在为79000条未证明陈述生成的250万条证明中，只有131条是正确的，所以仅在正确证明上对模型进行微调几乎没有任何效果，专家迭代的效果停滞。

相比之下，STP生成的猜想具有更高的通过率，提供了更多的训练信号，进而实现了更好的扩展性能。

使用生成的猜想再训练仍然有助于下游性能

在最终的再训练阶段，除了LeanWorkbook中成功证明的陈述之外，使用生成的猜想进行重新训练仍然有益，即使对于在miniF2F-test和ProofNet-test上的性能也是如此，pass@128指标上大约提高了1%的性能。

参考资料：

https://arxiv.org/pdf/2502.00212