怎样用流体的应力张量推导出流体的受力？麦克斯韦方程组中蕴藏了电荷守恒的奥秘？

7月27日和8月3日12时，《张朝阳的物理课》第二百五十期和第二百五十一期开播，搜狐创始人、董事局主席兼首席执行官、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间，首先从流体的应力张量出发，逐项计算了它们对N-S方程中力密度的贡献，然后从麦克斯韦方程组出发，以两种方式推导出了电荷守恒方程。通过这些计算，读者可以直观感受到张量运算的独特之处。

流体力学中的张量分析

在流体力学中，任何情况下流体的流速场都满足纳维-斯托克斯（Navier-Stokes，下文简称N-S）方程，它是牛顿第二定律在流体上的应用。在不可压缩流体的情况下，N-S方程为

本节课将运用张量运算的方法，从不可压缩流体的应力张量出发

推导出N-S方程等号右边的形式。应力张量作用在微小面元上所产生的力微元是

一个三维物体在流体中所受的力，就等于上式中的力微元在物体的整个表面上求和，或者说是应力张量对物体的表面求积分。如果只考察某一个方向的力，就可以在积分的同时对该方向的单位向量l求一次内积

下面代入（1）式中的第一项，也就是压强项，来看看这一项对力的贡献

在计算过程中，先将每一个张量以基矢展开的形式完全写开，然后利用对偶基矢的性质和度规升降指标的性质化简了结果。最后剩下的被积函数是一个矢量，可以利用高斯定律将对矢量的面积分换成对其散度的体积分

在最后一步，由于l是事先选取的一个固定的单位矢量，所以可以和微分算子交换位置。这一项贡献出的力的体密度是

现在将（1）式中的第二项代入（2）式，也就是流速场的梯度项

第三行利用了对偶基矢的性质做了一次内积运算。剩下的被积函数只有一个基矢，是一个矢量，可以利用高斯定律。为方便读者理解，不妨记矢量为

于是

第五行交换了两个协变导数算子的顺序，这是因为在平直时空中两个协变导数算子是对易的。第六行交换了度规和协变导数算子，因为度规的协变导数为零。对于不可压缩流体，由质量守恒方程可以导出速度场无散

所以该项对力没有贡献。

现在将（1）式中的第三项代入（2）式，也就是流速场的梯度转置项

第三行进行了求转置的运算，互换了展开系数的两个指标。继续利用高斯定律可得

这就解释了，在N-S方程中，流体受到的力的体密度中来自粘滞力的一项是

综合以上三项，就能得到N-S方程右边的力密度的形式。

电动力学中的张量分析

麦克斯韦方程组本身就隐含了电荷守恒，这曾在《张朝阳的物理课（第二卷）》中给出过推导，现在来简单复习一下传统的推导方式。

对（3.4）式两边取散度，由于式子左边是一个矢量场的旋度，所以它的散度恒等于零，于是

交换对时间求偏导和求散度的顺序，并利用（3.1）式，就得到

这就是描述电荷守恒的方程

上面是从矢量微积分的运算方式进行的推导。下面介绍张量运算的方式，用具体的计算来感受张量运算的特点。首先回顾一下电磁四矢势和四电流

在选取了洛伦茨规范后，麦克斯韦方程组中的（3.1）和（3.4）式可以写为

而如果引入电磁张量

就能得到与采用哪种规范都无关的方程

正是因为这个方程是规范不变的，理论家们更喜欢用电磁张量而非电磁四矢势来描述电磁场。张量形式的方程也天生地与狭义相对论的洛伦兹协变性相适配。

至于麦克斯韦方程组中的（3.2）和（3.3）式，它们是无源的，代表电磁场的内禀约束，可以将电磁张量视为里奇张量并代入比安奇恒等式，得到

现在回过来看看，如果要用张量形式表述电荷守恒，那么就要将（4）式表述为四电流的散度为零，再考虑到（5）式，可以得到

即要证明

下面来证明这一结果

第三行用到了比安奇恒等式；第四行中的第二项涉及到对F求迹，由于F是无迹的，所以这一项为零；第五行交换了两个求导指标，得到的结果和最开始的式子相反，这就证明了原式等于零。

事实上，这个式子还有更为简便的证明方法，注意到电磁张量具有反对称性，可以直接得到

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