在ASP.Net Core Web API中，会话数据的处理稍有不同于传统的ASP.Net框架。下面是一个解决方法的代码示例：

首先，确保你的应用程序中已添加了Microsoft.AspNetCore.Session包。

然后，在Startup.cs文件的ConfigureServices方法中添加以下代码来启用会话：

public void ConfigureServices(IServiceCollection services)
{
    services.AddDistributedMemoryCache(); // 使用内存缓存来存储会话数据
    services.AddSession(options =>
    {
        options.Cookie.Name = "YourSessionCookieName"; // 设置会话Cookie的名称
        options.IdleTimeout = TimeSpan.FromSeconds(10); // 设置会话过期时间
        options.Cookie.HttpOnly = true;
        options.Cookie.IsEssential = true;
    });

    // 其他服务的配置...
}

接下来，在Configure方法中添加以下代码来启用会话中间件：

public void Configure(IApplicationBuilder app, IWebHostEnvironment env)
{
    app.UseRouting();

    app.UseSession(); // 添加会话中间件

    app.UseEndpoints(endpoints =>
    {
        endpoints.MapControllers();
    });

    // 其他中间件和配置...
}

然后，在你的控制器中使用HttpContext.Session对象来读取和写入会话数据。下面是一个示例：

[ApiController]
[Route("api/[controller]")]
public class MyController : ControllerBase
{
    [HttpGet]
    public ActionResult Get()
    {
        // 从会话中读取数据
        string data = HttpContext.Session.GetString("MyData");

        if (string.IsNullOrEmpty(data))
        {
            // 写入会话数据
            data = "Hello, World!";
            HttpContext.Session.SetString("MyData", data);
        }

        return data;
    }
}

在上面的示例中，我们首先尝试从会话中读取名为"MyData"的数据。如果数据不存在，则我们将写入一个默认值并返回它。

请确保在使用会话数据之前，你的控制器类继承自ControllerBase类，并添加[ApiController]和[Route]属性来定义路由。