要启用ASP.NET Core API的CORS，您需要进行以下步骤：

1. 在Startup.cs文件中的ConfigureServices方法中添加CORS服务配置：

public void ConfigureServices(IServiceCollection services)
{
    services.AddCors(options =>
    {
        options.AddPolicy("AllowSpecificOrigin",
            builder => builder.WithOrigins("http://example.com")
                .AllowAnyMethod()
                .AllowAnyHeader());
    });

    // 添加其他服务配置
    // ...
}

2. 在Startup.cs文件的Configure方法中使用CORS中间件配置：

public void Configure(IApplicationBuilder app, IHostingEnvironment env)
{
    app.UseCors("AllowSpecificOrigin");

    // 添加其他中间件配置
    // ...
}

确保您将http://example.com替换为您希望允许跨域访问的域名。

如果您想允许所有域名的跨域访问，可以使用以下配置：

public void ConfigureServices(IServiceCollection services)
{
    services.AddCors(options =>
    {
        options.AddPolicy("AllowAnyOrigin",
            builder => builder.AllowAnyOrigin()
                .AllowAnyMethod()
                .AllowAnyHeader());
    });

    // 添加其他服务配置
    // ...
}

public void Configure(IApplicationBuilder app, IHostingEnvironment env)
{
    app.UseCors("AllowAnyOrigin");

    // 添加其他中间件配置
    // ...
}

请注意，CORS配置的位置很重要，通常应该在其他中间件之前调用UseCors方法。

希望这可以帮助到您解决问题！