要解决AWS Lambda和API Gateway响应集成问题，你可以按照以下步骤进行操作：

1. 创建AWS Lambda函数：首先，你需要在AWS Lambda中创建一个函数，用于处理API Gateway的请求并生成响应。下面是一个简单的Lambda函数示例：

def lambda_handler(event, context):
    # 处理API请求并生成响应
    response = {
        "statusCode": 200,
        "body": "Hello, World!"
    }
    
    return response

2. 配置API Gateway：接下来，你需要创建一个API Gateway，并将其与Lambda函数集成。确保在API Gateway的设置中选择正确的集成类型（Lambda函数），并将Lambda函数与相应的资源和HTTP方法进行关联。

3. 配置响应模板：在API Gateway中，你可以配置响应模板，以便自定义生成的响应。你可以使用Velocity模板语言来操作响应数据。以下是一个简单的响应模板示例：

#set($inputRoot = $input.path('$'))
{
    "statusCode": $inputRoot.statusCode,
    "body": $inputRoot.body
}

4. 测试API Gateway：一旦配置完毕，你可以使用API Gateway提供的URL来测试你的API。发送请求后，API Gateway将触发Lambda函数并返回生成的响应。

通过上述步骤，你可以成功将AWS Lambda和API Gateway集成，并自定义生成的响应。请注意，以上示例是简化的，你可以根据自己的需求进行更复杂的配置和处理。