在BackgroundWorker中访问类级变量时，需要使用线程安全的方法。以下是一个示例解决方法：

public class MyClass
{
    private static int counter = 0; // 类级变量

    private static readonly object lockObject = new object(); // 用于同步访问变量的锁对象

    private static void DoWork(object sender, DoWorkEventArgs e)
    {
        // 在后台线程中访问类级变量
        lock (lockObject) // 加锁以确保线程安全
        {
            counter++;
        }
    }

    private static void WorkerCompleted(object sender, RunWorkerCompletedEventArgs e)
    {
        // 在后台线程完成后访问类级变量
        lock (lockObject) // 加锁以确保线程安全
        {
            Console.WriteLine("Counter value: " + counter);
        }
    }

    public static void Main(string[] args)
    {
        BackgroundWorker worker = new BackgroundWorker();
        worker.DoWork += DoWork;
        worker.RunWorkerCompleted += WorkerCompleted;
        worker.RunWorkerAsync();

        // 等待一段时间，以确保后台线程完成
        Thread.Sleep(1000);
    }
}

在上面的示例中，我们使用了一个静态的锁对象lockObject来同步访问类级变量counter。在DoWork方法和WorkerCompleted方法中，我们使用lock语句来确保只有一个线程可以访问counter的值。

当DoWork方法被后台线程调用时，它会加锁并增加counter的值。当后台线程完成时，WorkerCompleted方法会被调用，它也会加锁并输出counter的值。

这样，我们可以确保在多线程环境下对类级变量的访问是线程安全的。