背包问题是一个经典的动态规划问题,其目标是在给定的一组物品中选择一些物品放入背包中,使得物品的总价值最大,同时保持背包的容量限制。
以下是一个使用动态规划解决背包问题的示例代码,包含如何找出哪些物品被选择了:
def knapsack(items, capacity):
n = len(items)
dp = [[0] * (capacity + 1) for _ in range(n + 1)]
selected_items = [[] for _ in range(n + 1)]
for i in range(1, n + 1):
item_weight, item_value = items[i - 1]
for j in range(1, capacity + 1):
if item_weight > j:
dp[i][j] = dp[i - 1][j]
else:
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - item_weight] + item_value)
if dp[i][j] > dp[i - 1][j]:
selected_items[i] = selected_items[i - 1] + [i]
return dp[n][capacity], selected_items[n]
# 示例用法
items = [(2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)]
capacity = 8
max_value, selected = knapsack(items, capacity)
print("最大价值:", max_value)
print("选择的物品:", selected)
在上述代码中,我们使用 dp
数组来动态地记录每个子问题的最优解,dp[i][j]
表示在前 i
个物品中选择,在容量为 j
的背包中能够获得的最大总价值。
为了找出哪些物品被选择了,我们使用 selected_items
数组来记录每个子问题中选择的物品索引。在每次更新 dp
数组时,如果选择了当前物品,就在 selected_items[i]
中记录下来。
最后,返回 dp[n][capacity]
作为最大价值,并返回 selected_items[n]
作为被选择的物品列表。
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