如果本地NodeJS/Express应用程序的请求失败，但在PostMan中可以正常工作，很可能是由于应用程序中存在跨域请求的问题。在NodeJS/Express中，可以使用CORS库来添加CORS支持。下面是一些示例代码：

安装cors库：

npm install cors --save

在应用程序的代码中添加以下中间件：

const express = require('express');
const cors = require('cors');

const app = express();

// 接受所有来源的跨域请求： 
app.use(cors());

// 接受来自特定来源的跨域请求： 
app.use(cors({
    origin: 'http://localhost:3000'
}));

// 启用预检请求支持：
app.options('/api', cors());

这些示例代码将允许接受所有来源的跨域请求、来自特定来源的跨域请求以及启用预检请求支持的跨域请求。

此外，还可以在服务器端添加以下响应头：

res.header("Access-Control-Allow-Origin", "*");
res.header("Access-Control-Allow-Headers", "Origin, X-Requested-With, Content-Type, Accept");

这些响应头将允许接受来自任何来源的跨域请求。

总之，要解决本地NodeJS/Express应用程序向API的请求失败的问题，可以在应用程序中添加CORS支持，并设置相关的响应头。