在连接到同一SQL服务器上的多个数据库时，可以使用分布式事务来确保多个数据库操作的原子性和一致性。然而，在.NET Core中，分布式事务的支持相对较弱，因此建议避免使用分布式事务来处理连接到同一SQL服务器上的多个数据库的操作。

相反，可以考虑使用其他方法来处理这种情况，如使用本地事务或实现自定义的事务管理机制。下面是一个使用本地事务处理连接到同一SQL服务器上的多个数据库的示例代码：

using (var connection1 = new SqlConnection(connectionString1))
using (var connection2 = new SqlConnection(connectionString2))
{
    connection1.Open();
    connection2.Open();

    using (var transaction1 = connection1.BeginTransaction())
    using (var transaction2 = connection2.BeginTransaction())
    {
        try
        {
            // 在第一个数据库上执行操作
            var command1 = connection1.CreateCommand();
            command1.Transaction = transaction1;
            command1.CommandText = "INSERT INTO Table1 (Column1) VALUES (@value)";
            command1.Parameters.AddWithValue("@value", "Data1");
            command1.ExecuteNonQuery();

            // 在第二个数据库上执行操作
            var command2 = connection2.CreateCommand();
            command2.Transaction = transaction2;
            command2.CommandText = "INSERT INTO Table2 (Column1) VALUES (@value)";
            command2.Parameters.AddWithValue("@value", "Data2");
            command2.ExecuteNonQuery();

            // 提交事务
            transaction1.Commit();
            transaction2.Commit();
        }
        catch (Exception ex)
        {
            // 发生异常时回滚事务
            transaction1.Rollback();
            transaction2.Rollback();

            // 处理异常
        }
    }
}

在上述示例中，我们分别使用两个独立的连接和事务来处理连接到同一SQL服务器上的两个不同数据库的操作。在执行操作时，我们可以使用连接对象的BeginTransaction方法来创建本地事务，并将事务分配给相应的命令对象。然后，我们可以使用ExecuteNonQuery方法来执行数据库操作。

如果在执行操作期间发生异常，我们可以在catch块中回滚事务以确保数据的一致性。同时，我们还可以根据需要进行其他异常处理。

需要注意的是，使用本地事务处理连接到同一SQL服务器上的多个数据库的操作可能会导致一些性能上的损失，因为每个事务都需要单独的数据库连接和资源。因此，在设计应用程序时，应权衡使用分布式事务和使用本地事务之间的优缺点，并根据具体需求选择合适的解决方案。