在Android 11中，后台定位权限的授予方式发生了变化。以下是一种解决方法，使用代码示例演示如何请求后台定位权限：

1. 在AndroidManifest.xml文件中添加以下权限声明：

2. 在需要请求后台定位权限的Activity或Fragment中，添加以下代码：

// 定义一个请求码
private static final int REQUEST_BACKGROUND_LOCATION = 100;

// 检查是否已经获取后台定位权限
private boolean checkBackgroundLocationPermission() {
    if (Build.VERSION.SDK_INT >= Build.VERSION_CODES.Q) {
        int result = ContextCompat.checkSelfPermission(this, Manifest.permission.ACCESS_BACKGROUND_LOCATION);
        return result == PackageManager.PERMISSION_GRANTED;
    }
    return true;
}

// 请求后台定位权限
private void requestBackgroundLocationPermission() {
    if (Build.VERSION.SDK_INT >= Build.VERSION_CODES.Q) {
        if (!checkBackgroundLocationPermission()) {
            ActivityCompat.requestPermissions(this, new String[]{Manifest.permission.ACCESS_BACKGROUND_LOCATION}, REQUEST_BACKGROUND_LOCATION);
        }
    }
}

// 处理权限请求结果
@Override
public void onRequestPermissionsResult(int requestCode, @NonNull String[] permissions, @NonNull int[] grantResults) {
    super.onRequestPermissionsResult(requestCode, permissions, grantResults);
    if (requestCode == REQUEST_BACKGROUND_LOCATION) {
        if (grantResults.length > 0 && grantResults[0] == PackageManager.PERMISSION_GRANTED) {
            // 后台定位权限已授予
        } else {
            // 后台定位权限被拒绝
        }
    }
}

3. 在需要请求后台定位权限的地方调用 requestBackgroundLocationPermission() 方法，例如在按钮点击事件中：

button.setOnClickListener(new View.OnClickListener() {
    @Override
    public void onClick(View v) {
        requestBackgroundLocationPermission();
    }
});

以上示例代码会在Android 11及以上版本中请求后台定位权限，并在权限请求结果中处理相应的逻辑。