当Apache Flink的检查点持续失败时，可以尝试以下解决方法：

1. 检查日志：首先，查看Flink任务的日志，以了解失败的具体原因。检查日志可以提供有关错误的更多上下文，并指导下一步的调试和修复。

2. 调整检查点配置：检查点配置可能需要进行调整以适应当前的环境。例如，可以调整检查点的间隔时间、最大并发度和最大尝试次数等参数。您可以尝试更改这些配置参数并重新启动任务以查看是否有所改善。

以下是一个示例代码片段，用于调整检查点配置：

StreamExecutionEnvironment env = StreamExecutionEnvironment.getExecutionEnvironment();

// 设置检查点的间隔时间为30秒
env.enableCheckpointing(30000);

// 设置最大并发度为2
env.setMaxParallelism(2);

// 设置最大尝试次数为3
env.getCheckpointConfig().setMaxConcurrentCheckpoints(3);

3. 检查资源限制：检查点失败可能是由于资源限制导致的。确保Flink任务具有足够的资源（例如内存、CPU等）来执行检查点操作。您可以尝试增加任务的资源配额并重新启动任务。

4. 检查外部依赖：如果Flink任务依赖外部系统（例如存储系统、消息队列等），请确保这些外部系统正常工作。检查外部系统的连接和配置，确保它们没有出现故障或问题。

5. 更新Flink版本：如果您正在使用较旧的Flink版本，可以尝试升级到最新版本。新版本通常包含对检查点功能的改进和修复，可能会解决这些问题。

6. 重启任务管理器：有时，重启Flink任务管理器可以解决检查点持续失败的问题。您可以尝试重启任务管理器，然后重新运行任务，看看是否能够成功执行检查点。

总之，当Apache Flink的检查点持续失败时，您可以通过检查日志、调整检查点配置、检查资源限制、检查外部依赖、更新Flink版本或重启任务管理器等方法来解决问题。根据具体的情况，您可能需要尝试一些或所有这些方法来找到并解决问题。