当 API 请求返回 CORS（跨域资源共享）错误时，可以通过以下方法解决：

1. 后端配置允许跨域访问：在 API 的后端代码中，添加允许跨域访问的配置。具体方式取决于后端语言和框架。以下是一个 Node.js Express 框架的示例代码：

const express = require('express');
const app = express();

// 添加允许跨域访问的配置
app.use(function(req, res, next) {
  res.header('Access-Control-Allow-Origin', '*');
  res.header('Access-Control-Allow-Headers', 'Origin, X-Requested-With, Content-Type, Accept');
  next();
});

// 处理 API 请求
app.get('/api/data', function(req, res) {
  // 返回数据
  res.json({ message: 'API response' });
});

// 启动服务器
app.listen(3000, function() {
  console.log('Server started on port 3000');
});

2. 使用代理服务器：在开发环境中，可以使用代理服务器来解决跨域问题。代理服务器将前端的 API 请求转发到后端，并在转发过程中添加必要的 CORS 头信息。以下是一个使用 webpack-dev-server 的示例配置：

module.exports = {
  // ...
  devServer: {
    proxy: {
      '/api': {
        target: 'http://backend-api.example.com', // 后端 API 地址
        changeOrigin: true, // 允许改变请求的源
        pathRewrite: {
          '^/api': '', // 去掉 API 路径中的 '/api' 前缀
        },
      },
    },
  },
};

3. 在前端代码中使用 JSONP：如果 API 支持 JSONP，可以在前端代码中使用 JSONP 发起跨域请求。以下是一个使用原生 JavaScript 的 JSONP 示例：

function handleResponse(data) {
  // 处理返回的数据
  console.log(data);
}

const script = document.createElement('script');
script.src = 'http://backend-api.example.com/api/data?callback=handleResponse';
document.body.appendChild(script);

请根据具体情况选择适合的解决方法。