API网关使用HTTPS连接发布WebSocket主要是出于安全性的考虑。HTTPS连接可以提供加密通信和身份验证，确保数据在传输过程中的安全性和完整性。

以下是一个使用Node.js的示例代码，演示如何在API网关中使用HTTPS连接发布WebSocket：

const https = require('https');
const fs = require('fs');
const WebSocket = require('ws');

// 读取SSL证书和私钥
const serverConfig = {
  key: fs.readFileSync('private.key'),
  cert: fs.readFileSync('certificate.pem')
};

// 创建HTTPS服务器
const server = https.createServer(serverConfig);

// 创建WebSocket服务器
const wss = new WebSocket.Server({ server });

// 监听WebSocket连接
wss.on('connection', ws => {
  // 处理WebSocket消息
  ws.on('message', message => {
    console.log('Received message:', message);
    // 处理消息逻辑...

    // 发送消息给客户端
    ws.send('Server response: ' + message);
  });
});

// 启动服务器
server.listen(8080, () => {
  console.log('Server started on port 8080');
});

在上面的示例中，我们使用了https模块创建了一个HTTPS服务器，并传入了SSL证书和私钥。然后，我们创建了一个WebSocket.Server实例，将HTTPS服务器作为参数传递进去。最后，我们使用wss.on('connection')监听WebSocket连接，并在连接建立时处理WebSocket消息。

需要注意的是，在实际应用中，你可能需要根据你的证书和私钥的路径进行相应的更改。另外，你还需要在API网关中配置相应的HTTPS证书和私钥，以确保客户端和服务器之间的通信经过加密。