要实现在Asp.Net Core中继承控制器及其路由，并重写方法，可以按照以下步骤进行操作：

1. 创建基础控制器类：

public class BaseController : Controller
{
    // 在基础控制器类中定义需要重写的方法
    public virtual IActionResult Index()
    {
        return View();
    }
}

2. 创建继承自基础控制器类的子类：

public class HomeController : BaseController
{
    // 重写基础控制器中的方法
    public override IActionResult Index()
    {
        // 实现自定义逻辑
        return Content("Hello from HomeController!");
    }
}

3. 配置路由： 在Startup.cs文件的ConfigureServices方法中，添加以下代码：

services.AddMvc();

在Startup.cs文件的Configure方法中，添加以下代码：

app.UseEndpoints(endpoints =>
{
    endpoints.MapControllerRoute(
        name: "default",
        pattern: "{controller=Home}/{action=Index}/{id?}");
});

4. 创建视图： 在Views文件夹中创建与控制器和方法对应的视图文件，例如，在Views/Home文件夹中创建Index.cshtml文件：

@ViewBag.Message

5. 运行应用程序： 启动应用程序，并访问对应的控制器和方法的URL，例如，访问/Home/Index，将会显示"Hello from HomeController!"。

注意：在这个示例中，基础控制器类是可选的，您也可以直接在HomeController中重写Controller类的方法。