在ASP.NET Core 2.1中，您可以使用appsettings.json文件配置连接字符串。不再需要使用ConfigurationManager.ConnectionStrings来获取连接字符串。以下是解决方法的示例代码：

1. 首先，确保您的appsettings.json文件包含连接字符串的配置。例如：

{
  "ConnectionStrings": {
    "DefaultConnection": "YourConnectionStringHere"
  }
}

2. 在您的Web API控制器或服务中，注入IConfiguration接口并使用它来获取连接字符串。例如：

public class MyController : ControllerBase
{
    private readonly IConfiguration _configuration;

    public MyController(IConfiguration configuration)
    {
        _configuration = configuration;
    }

    [HttpGet]
    public IActionResult Get()
    {
        string connectionString = _configuration.GetConnectionString("DefaultConnection");

        if (string.IsNullOrEmpty(connectionString))
        {
            // 处理连接字符串为空的情况
            // ...
        }

        // 使用连接字符串进行操作
        // ...

        return Ok();
    }
}

在上面的代码中，我们注入了IConfiguration接口，并在Get()方法中使用_configuration.GetConnectionString("DefaultConnection")来获取连接字符串。如果连接字符串为空，则可以根据您的需求进行处理。

请注意，这样的代码假设您已经正确配置了appsettings.json文件，并且已经在Startup.cs文件中使用Configuration属性加载了该文件。例如：

public class Startup
{
    public Startup(IConfiguration configuration)
    {
        Configuration = configuration;
    }

    public IConfiguration Configuration { get; }

    public void ConfigureServices(IServiceCollection services)
    {
        // ...
    }

    public void Configure(IApplicationBuilder app, IHostingEnvironment env)
    {
        // ...

        app.UseMvc();
    }
}

这样，您就可以在ASP.NET Core 2.1中正确获取连接字符串，而不再依赖于ConfigurationManager.ConnectionStrings。