在ASP.NET Core 3.1中，在类库中获取连接字符串可以通过依赖注入的方式来实现。以下是一个示例解决方法：

首先，在类库项目中创建一个接口来定义获取连接字符串的方法，例如：

public interface IConnectionStringProvider
{
    string GetConnectionString();
}

然后，实现该接口并获取连接字符串的具体逻辑，例如：

public class ConnectionStringProvider : IConnectionStringProvider
{
    private readonly IConfiguration _configuration;

    public ConnectionStringProvider(IConfiguration configuration)
    {
        _configuration = configuration;
    }

    public string GetConnectionString()
    {
        return _configuration.GetConnectionString("DefaultConnection");
    }
}

接下来，在ASP.NET Core Web应用程序的Startup类中配置依赖注入，将实现的类注册为服务，例如：

public void ConfigureServices(IServiceCollection services)
{
    // ...

    services.AddSingleton();

    // ...
}

最后，在类库中需要获取连接字符串的地方，通过依赖注入方式获取连接字符串，例如：

public class ExampleClass
{
    private readonly IConnectionStringProvider _connectionStringProvider;

    public ExampleClass(IConnectionStringProvider connectionStringProvider)
    {
        _connectionStringProvider = connectionStringProvider;
    }

    public void SomeMethod()
    {
        string connectionString = _connectionStringProvider.GetConnectionString();
        // 使用连接字符串进行一些操作
    }
}

通过以上步骤，就可以在类库中获取ASP.NET Core应用程序的连接字符串了。