要在ASP.NET Core Web API中实现本地化DataAnnotation自定义特性，可以按照以下步骤进行操作：

1. 创建一个自定义特性类，继承自ValidationAttribute类，并重写IsValid方法。在该方法中，可以使用ValidationContext参数来获取被验证的对象以及属性的值，并进行相应的验证逻辑。

public class CustomValidationAttribute : ValidationAttribute
{
    protected override ValidationResult IsValid(object value, ValidationContext validationContext)
    {
        // 自定义验证逻辑
        // 如果验证失败，返回ValidationResult对象
        // 如果验证成功，返回null
    }
}

2. 在Startup.cs文件中的ConfigureServices方法中，添加本地化配置。可以使用AddDataAnnotationsLocalization方法来添加DataAnnotation本地化支持，并指定资源文件的位置。

services.AddMvc()
    .AddDataAnnotationsLocalization(options =>
    {
        options.DataAnnotationLocalizerProvider = (type, factory) =>
            factory.Create(typeof(Resources));
    });

3. 创建一个资源文件来存储各种验证错误消息。在资源文件中，可以为每个验证错误消息定义一个键值对应。

public class Resources
{
    public string CustomValidationErrorMessage { get; set; }
}

4. 在验证特性类中，使用ErrorMessageResourceName和ErrorMessageResourceType属性来指定资源文件中的键。

public class CustomValidationAttribute : ValidationAttribute
{
    public CustomValidationAttribute()
    {
        ErrorMessageResourceName = nameof(Resources.CustomValidationErrorMessage);
        ErrorMessageResourceType = typeof(Resources);
    }

    protected override ValidationResult IsValid(object value, ValidationContext validationContext)
    {
        // 验证逻辑
    }
}

现在，当使用该自定义特性进行验证时，可以根据当前语言环境自动加载相应的资源文件，并使用正确的本地化错误消息。