出现 System.Security.Cryptography.CryptographicException 异常的原因可能是配置错误或会话状态加密的问题。以下是解决此问题的一种可能方法：

1. 在 Startup.cs 文件的 ConfigureServices 方法中确保已正确配置会话服务：

public void ConfigureServices(IServiceCollection services)
{
    // 添加会话服务
    services.AddSession(options =>
    {
        options.Cookie.Name = "YourSessionCookieName";
        options.IdleTimeout = TimeSpan.FromMinutes(30);
        options.Cookie.HttpOnly = true;
        options.Cookie.IsEssential = true;
    });

    // 其他代码...
}

2. 在 Configure 方法中使用 app.UseSession() 来启用会话中间件：

public void Configure(IApplicationBuilder app, IWebHostEnvironment env)
{
    // 其他中间件...

    // 启用会话中间件
    app.UseSession();

    // 其他中间件...

    // 最后的终端中间件
    app.UseEndpoints(endpoints =>
    {
        endpoints.MapControllers();
    });
}

3. 确保应用程序的密钥（Key）已正确配置。在 appsettings.json 文件中添加一个密钥：

{
  "AppSettings": {
    "Key": "YourSecretKey"
  },
  
  // 其他配置...
}

4. 在 Startup.cs 文件的 ConfigureServices 方法中加载密钥，并将其传递给会话服务配置：

public void ConfigureServices(IServiceCollection services)
{
    // 加载密钥
    var appSettings = Configuration.GetSection("AppSettings");
    var key = Encoding.ASCII.GetBytes(appSettings["Key"]);

    // 添加会话服务并配置密钥
    services.AddSession(options =>
    {
        // 其他配置...
        options.Cookie.SameSite = SameSiteMode.None;
        options.Cookie.SecurePolicy = CookieSecurePolicy.SameAsRequest;
        options.Cookie.EncryptionKeys = new KeyManagementOptions(key);
    });

    // 其他代码...
}

请注意，上述代码示例中的 "YourSessionCookieName" 和 "YourSecretKey" 应替换为您自己的值。

通过以上步骤，您可以解决 ASP.NET Core Web API 在使用 app.UseSession() 时出现 System.Security.Cryptography.CryptographicException 异常的问题。