在ASP.NET Core中继续使用过期证书的解决方法是通过配置HttpClient来忽略证书验证错误。下面是一个代码示例：

using System;
using System.Net.Http;
using System.Net.Security;
using System.Security.Cryptography.X509Certificates;

public class Program
{
    public static void Main(string[] args)
    {
        // 创建HttpClientHandler，并设置ServerCertificateCustomValidationCallback回调函数
        var handler = new HttpClientHandler
        {
            ServerCertificateCustomValidationCallback = ValidateCertificate
        };

        // 创建HttpClient，并使用上面创建的HttpClientHandler
        var client = new HttpClient(handler);

        // 使用HttpClient发送请求
        var response = client.GetAsync("https://example.com").Result;
        var content = response.Content.ReadAsStringAsync().Result;

        Console.WriteLine(content);
    }

    // 自定义证书验证回调函数
    private static bool ValidateCertificate(HttpRequestMessage requestMessage, X509Certificate2 certificate, X509Chain chain, SslPolicyErrors sslPolicyErrors)
    {
        // 忽略验证错误，总是返回true
        return true;
    }
}

在上面的代码中，我们创建了一个HttpClientHandler，并设置了ServerCertificateCustomValidationCallback回调函数来忽略证书验证错误。然后，我们创建了一个HttpClient，并使用上面创建的HttpClientHandler。最后，我们使用HttpClient发送请求，并在控制台输出响应内容。

请注意，忽略证书验证错误是有安全风险的，建议仅在开发和测试环境中使用。在生产环境中，应使用有效的证书来确保通信的安全性。