在Asp.Net Web Api中记录日志可以使用各种不同的方法。以下是其中一种解决方法，包含代码示例：

1. 首先，安装以下NuGet程序包：

   • Serilog.AspNetCore
   • Serilog.Sinks.Console
   • Serilog.Sinks.File

2. 在Global.asax.cs文件中，添加以下代码：

using Serilog;
using System.Web.Http;

public class WebApiApplication : System.Web.HttpApplication
{
    protected void Application_Start()
    {
        // 配置Serilog日志
        Log.Logger = new LoggerConfiguration()
            .WriteTo.Console()
            .WriteTo.File(Server.MapPath("~/App_Data/log.txt"), rollingInterval: RollingInterval.Day)
            .CreateLogger();

        // 将Serilog绑定到Web API的全局日志记录器
        GlobalConfiguration.Configuration.Services.Add(typeof(System.Web.Http.Tracing.ITraceWriter),
            new SerilogWebApiTracer());

        // 其他应用程序启动代码...
    }
}

3. 创建一个名为“SerilogWebApiTracer”的类，实现ITraceWriter接口，并添加以下代码：

using Serilog;
using System.Web.Http.Tracing;

public class SerilogWebApiTracer : ITraceWriter
{
    private static readonly ILogger Logger = Log.ForContext();

    public void Trace(HttpRequestMessage request, string category, TraceLevel level, Action traceAction)
    {
        if (level == TraceLevel.Off)
        {
            return;
        }

        var record = new TraceRecord(request, category, level);
        traceAction(record);

        switch (record.Level)
        {
            case TraceLevel.Info:
                Logger.Information(record.Message);
                break;
            case TraceLevel.Debug:
                Logger.Debug(record.Message);
                break;
            case TraceLevel.Warn:
                Logger.Warning(record.Message);
                break;
            case TraceLevel.Error:
                Logger.Error(record.Exception, record.Message);
                break;
        }
    }
}

4. 在WebApiConfig.cs文件中，将配置替换为以下代码：

public static class WebApiConfig
{
    public static void Register(HttpConfiguration config)
    {
        // Web API 配置和服务
        config.Services.Replace(typeof(System.Web.Http.Tracing.ITraceWriter), new SerilogWebApiTracer());

        // Web API 路由
        config.MapHttpAttributeRoutes();

        config.Routes.MapHttpRoute(
            name: "DefaultApi",
            routeTemplate: "api/{controller}/{id}",
            defaults: new { id = RouteParameter.Optional }
        );
    }
}

完成上述步骤后，Web Api应用程序将记录日志到控制台和文件中。你可以根据需要自定义Serilog的配置以满足你的需求。