ASP.Net Core Web API默认不支持Session，需要手动配置才能使用。下面是一种解决方案：

首先，在Startup.cs的ConfigureServices方法中，添加以下代码开启Session：

services.AddSession(options =>
{
    options.Cookie.IsEssential = true;
});

然后，在Startup.cs的Configure方法中，添加以下代码启用Session：

app.UseSession();

最后，在API的控制器中，可以使用HttpContext.Session访问Session：

[ApiController]
[Route("[controller]")]
public class SampleController : ControllerBase
{
    [HttpGet]
    public IActionResult Get()
    {
        HttpContext.Session.SetString("name", "John Doe");
        string name = HttpContext.Session.GetString("name");
        return Ok(name);
    }
}

注意：Session需要依赖于Cookies，所以使用Session时，需要确保浏览器已启用Cookies。另外，Session也需要设置有效期和其他安全配置，以保证安全性和性能。这里只是提供一个基本的示例来演示如何使用Session。