在ASP.NET Web API应用程序中，可以通过以下步骤来在客户端返回错误：

1. 在Web API控制器的操作方法中，使用HttpResponseMessage对象来返回响应结果。可以使用HttpResponseMessage的不同属性和方法来设置不同的状态码、消息内容和其他相关信息。

[HttpGet]
public HttpResponseMessage Get()
{
    try
    {
        // 业务逻辑代码
        // ...
        
        return Request.CreateResponse(HttpStatusCode.OK, data);
    }
    catch (Exception ex)
    {
        // 处理错误信息
        string errorMessage = "发生了一个错误";
        // ...

        return Request.CreateErrorResponse(HttpStatusCode.InternalServerError, errorMessage);
    }
}

2. 在客户端代码中，可以使用HttpClient来发送HTTP请求并接收响应。检查响应的StatusCode属性来判断请求是否成功。如果StatusCode不是200（OK），则可以读取响应的Content属性来获取错误消息。

HttpClient client = new HttpClient();
HttpResponseMessage response = await client.GetAsync("http://your-api-url");

if (response.IsSuccessStatusCode)
{
    // 请求成功
    var data = await response.Content.ReadAsAsync();
}
else
{
    // 请求失败，读取错误消息
    var errorMessage = await response.Content.ReadAsStringAsync();
}

通过以上步骤，可以在ASP.NET Web API应用程序中捕获和处理错误，并在客户端返回相应的错误消息。