AWS Cognito提供了API来控制cookie的设置。可以使用以下代码将cookie的域名设置为当前网站的域名：

AWS.config.region = 'your region';
AWS.config.credentials = new AWS.CognitoIdentityCredentials({
    IdentityPoolId: 'your identity pool id',
});
AWS.config.credentials.get(function(err) {
    if (!err) {
        var idToken = AWS.config.credentials.params.Logins['cognito-idp.your-region.amazonaws.com/your user pool id'].
		getIdToken().getJwtToken();
        var date = new Date();
        date.setTime(date.getTime() + (30 * 60 * 1000)); // 30 minutes
        var expires = '; expires=' + date.toGMTString();
        document.cookie = 'cognito-id_token=' + idToken + expires + '; path=/; domain=' + window.location.hostname;
    }
});

其中，AWS.config.region是AWS服务所在的区域，AWS.config.credentials是用于身份验证的凭据，AWS.config.credentials.get()将获取身份验证信息并将其存储在凭据中。在获取ID令牌之后，使用document.cookie将cookie的域名设置为当前网站的域名。